En el artículo anterior desmontábamos una creencia muy cómoda: que explicar bien basta para que el alumno aprenda matemáticas. Veíamos que, aunque la explicación clara es necesaria, los conceptos no se transmiten como un paquete cerrado ni aparecen por arte de magia tras una buena pizarra. Los conceptos se construyen cuando el alumno integra experiencias, compara situaciones y detecta regularidades, siempre apoyado en una guía docente intencional.
Ese primer texto ponía el foco en el qué: qué significa realmente comprender un concepto matemático y por qué tantas veces confundimos reconocimiento con aprendizaje. En este segundo artículo damos un paso más y entramos en el cómo. No desde recetas ni metodologías milagro, sino desde condiciones cognitivas necesarias para que un concepto llegue a ser sólido.
Aquí hablaremos de algo decisivo: por qué un concepto que solo funciona en un formato no es un concepto, sino una imagen; por qué cambiar representaciones no confunde, sino que revela lo esencial; por qué en geometría, medida u operaciones el problema no suele ser el algoritmo, sino el esquema que debería sostenerlo.
Si en el primer artículo defendíamos que aprender matemáticas no es repetir procedimientos, en este veremos qué tipo de experiencias, variaciones y preguntas hacen posible que el alumno construya estructuras mentales transferibles. Porque cuando el concepto existe, los cambios de contexto dejan de ser trampas… y se convierten en oportunidades para pensar. Un concepto matemático sólido sobrevive a los cambios de representación.
Si solo existe en una forma, no es un concepto: es una imagen.
Muchos alumnos “saben sumar” mientras el escenario se mantiene estable: números escritos, formato vertical, ausencia de contexto. En ese marco, responden con rapidez y seguridad. Sin embargo, ese aparente dominio se resquebraja en cuanto la suma aparece representada de otra manera: en una recta numérica, dentro de un problema verbal, como comparación entre cantidades o como situación de aumento o combinación.
El problema no es la suma en sí, sino el esquema que el alumno ha construido. Si ese esquema solo funciona en un formato, no estamos ante un concepto, sino ante un reconocimiento condicionado. Trabajar un concepto matemático implica moverlo constantemente entre distintos sistemas de representación: el lenguaje verbal, las representaciones gráficas, los símbolos y las situaciones reales. No se trata de marear al alumno ni de complicar innecesariamente la tarea, sino de obligarlo a extraer lo esencial de la idea matemática, aquello que permanece cuando cambia la forma. Recordemos que es mediante esa elaboración, donde comparamos semejanzas y diferencias entre elementos, como se construye el significado y se favorece la consolidación del aprendizaje en la memoria a largo plazo.
En geometría este fenómeno se vuelve especialmente visible. Pensemos en los triángulos. Muchos alumnos identifican sin dificultad los triángulos “prototípicos”: equiláteros, apoyados sobre la base, bien centrados y visualmente equilibrados. Pero empiezan a fallar cuando el triángulo está girado, es muy alargado o simplemente “parece raro”. ¿Por qué ocurre esto? Porque no han aprendido las propiedades del triángulo, sino una imagen mental concreta. Reconocen un dibujo familiar, no un concepto geométrico.
Construir realmente el concepto de triángulo exige otro tipo de experiencias: comparar figuras casi iguales, analizar por qué unas sí son triángulos y otras no, justificar las decisiones usando lenguaje geométrico y detectar invariantes como la presencia de tres lados, tres vértices y una figura cerrada. En este contexto, la pregunta más potente no es “¿es un triángulo?”, sino “¿por qué esto sí lo es y esto no?”. Es ahí donde empieza la comprensión.
Algo muy parecido ocurre con la medida. En Primaria solemos enseñarla como un conjunto de técnicas: usar reglas, aplicar fórmulas, convertir unidades. Sin embargo, medir es, ante todo, comparar una magnitud con una unidad. Si el alumno no ha vivido experiencias como medir con unidades no convencionales, comparar longitudes sin instrumentos o discutir qué ocurre cuando cambia la unidad de medida, las fórmulas llegan demasiado pronto y ocupan el lugar del concepto. El resultado es conocido: el alumno sabe “hacer ejercicios”, pero no entiende qué significa realmente medir.
Quizás uno de los debates más característicos en matemáticas de primaria es qué hacemos con las operaciones y algoritmos: cuándo enseñarlos, cómo hacerlo… Los algoritmos son herramientas poderosas, pero solo cuando el esquema conceptual que los sostiene ya existe. Introducirlos antes provoca que el alumno memorice pasos, confunda velocidad con comprensión y se bloquee cuando algo cambia mínimamente.
Pensemos en la multiplicación. Si se presenta únicamente como “sumas repetidas” y se formaliza rápidamente en el algoritmo vertical, el concepto queda incompleto. También aparece cuando comparamos cantidades (por ejemplo, al decir que una cantidad es tres veces mayor que otra), cuando escalamos una magnitud, ampliando o reduciendo un tamaño, cuando calculamos áreas combinando dos dimensiones distintas, o cuando actúa como un operador que transforma cantidades, como ocurre con los porcentajes o los cambios de precio. Sin esa variedad de significados, el alumno puede multiplicar correctamente… y no saber cuándo tiene sentido multiplicar.
Situaciones que obligan a pensar (y no solo a reconocer)
Un indicador claro de que no hay concepto construido es este: el alumno acierta cuando el ejercicio “se parece” a los anteriores y falla cuando cambia el contexto. Por eso, para construir conceptos necesitamos situaciones que obliguen a pensar, no solo a reconocer.
Hablamos de tareas que rompan expectativas, cambien el contexto, obliguen a justificar y generen un conflicto cognitivo manejable. Clasificar ejemplos y contraejemplos, inventar un problema que se resuelva de una determinada forma, detectar un error ficticio o explicar por qué una solución no funciona son ejemplos especialmente potentes. En estas situaciones, el error deja de ser un fallo y se convierte en información valiosa sobre el esquema mental del alumno.
Si aceptamos que los conceptos se construyen y no se explican, se derivan algunas consecuencias claras. Explicar bien es necesario, pero no suficiente. La práctica repetitiva tiene límites evidentes. La variedad de experiencias no es un adorno metodológico, sino un elemento estructural del aprendizaje. El lenguaje del alumno importa tanto como el resultado final, y la evaluación debería mirar esquemas y razonamientos, no solo respuestas correctas.
Y, sobre todo, debemos asumir algo incómodo: la comprensión profunda es más lenta que la memorización de fórmulas. Pero también es más estable, más transferible, menos frágil y, en última instancia, más justa desde el punto de vista cognitivo. Quizá el mayor problema en matemáticas no sea que los alumnos fallen. Quizá sea que confundimos reconocer con comprender, rapidez con aprendizaje y explicación con construcción.
Los conceptos matemáticos se construyen, lentamente, con buenas experiencias, buenas preguntas y tiempo para pensar. Una vez más (y van ya…) apostemos por la profundización más que la extensión.
A partir de «Psicología del aprendizaje de las matemáticas» de R. Skemp. Ediciones Morata, 1980.